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如果x和y是正的实数，那么x/y+y/x大于等于2，因为x/y+y/x-2乘以xy等于x^2+y^2-2xy，可以写成(x-y)^2的形式。这个证明当x和y同号时成立。如果x和y异号，那么乘以xy的时候不等式要变号了，所以就不成立了。
下面我们想证明这个不等式：
对任何正数x,y,z成立。
定义k=x+y+z，左边就可以写成
分子分母同时除以k,然后再做替换：X=x/k,Y=y/k,Z=z/k，我们得到
这里X+Y+Z=1，而且X,Y,Z<1 这样就转化成了三个（等比数列前N项和（N趋于无穷））的和。
第一项就等于X+X^2+X^3+...
整理一下，我们得到
下面转化为求X^n+Y^n+Z^n的最小值。
怎么办呢？（成友宝典：化简，消元，画图，求导）
消元Z＝1-X-Y，然后对X求导
导数等于0时取得最小值，此时X=1-X-Y=Z。
同理对Y求导可得Y=Z时取得最小值。
所以只有当X=Y=Z=1/3时左边取得最小值，等于3/2，证毕。
其实我们还可以推广到四项：
以致n项（大于等于n/(n-1)）。
但是上面的证明用到了微积分，有没有初等的方法呢？就像证明y/x+x/y大于等于2那样，凑成平方？显然，对于三项来说，应该有(x-y),(y-z),(x-z)这三项。不幸的是，这些项的平方和不是我们需要的不等式。然而，我们可以把这三项的平方和分散成两两的平方和，再考虑到对称性和次数，我们就可以得到想要的形式：
如果x和y是正的实数，那么x/y+y/x大于等于2，因为x/y+y/x-2乘以xy等于x^2+y^2-2xy，可以写成(x-y)^2的形式。这个证明当x和y同号时成立。如果x和y异号，那么乘以xy的时候不等式要变号了，所以就不成立了。
下面我们想证明这个不等式：
对任何正数x,y,z成立。
定义k=x+y+z，左边就可以写成
分子分母同时除以k,然后再做替换：X=x/k,Y=y/k,Z=z/k，我们得到
这里X+Y+Z=1，而且X,Y,Z<1 这样就转化成了三个（等比数列前N项和（N趋于无穷））的和。
第一项就等于X+X^2+X^3+...
整理一下，我们得到
下面转化为求X^n+Y^n+Z^n的最小值。
怎么办呢？（成友宝典：化简，消元，画图，求导）
消元Z＝1-X-Y，然后对X求导
导数等于0时取得最小值，此时X=1-X-Y=Z。
同理对Y求导可得Y=Z时取得最小值。
所以只有当X=Y=Z=1/3时左边取得最小值，等于3/2，证毕。
其实我们还可以推广到四项：
以致n项（大于等于n/(n-1)）。
但是上面的证明用到了微积分，有没有初等的方法呢？就像证明y/x+x/y大于等于2那样，凑成平方？显然，对于三项来说，应该有(x-y),(y-z),(x-z)这三项。不幸的是，这些项的平方和不是我们需要的不等式。然而，我们可以把这三项的平方和分散成两两的平方和，再考虑到对称性和次数，我们就可以得到想要的形式：
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